甚麼是黎曼猜想？
By Peace Foo 胡適之
黎曼猜想大概是世界上最著名的數學問題之一，平凡如戲中主角韓智宇也知道它是一個 「關於質數的問題」。更準確地說，它是關於黎曼ζ函數（Riemann zeta function）的問題。如果黎曼猜想得以證實，它將能引申到其他關於質數分佈的數學定理。黎曼猜想可能是解析數論中最著名懸而未決的問題。
質數，即是只能被1和該數自身整除的數字，在數字線上出現的位置變幻莫測，但我們大概能估計某數字x前存在的質數數目，記作π(x)。19世紀的數學家已發現能頗準確地預測質數數目的函數Li(x)（Li意思為 「log integral」，即對數積分），而當時他們的目標是證明Li(x)/π(x)之比趨向1 [1]，這句敘述也就是質數理論 （prime number theorem）。
歐幾里德（Euclid）早已證明了每個正整數都能化為獨特的質數因子。歐拉（Euler）將之搬到實分析學（real analysis），並構想出函數1 + 2-s + 3-s +4-s + …，後來的數學家都嘗試用它證明質數理論 [1]。黎曼（Riemann）將這個函數擴展至複數，即 s = a + ib，拓展後的函數被命名為黎曼ζ函數。及後黎曼就能使用複數分析裡一些重要的理論去證明質數理論。
其中一個重要的理論，就是複函數只受制於它等於零或無限的點上，這些點分別被稱為零點（zeros）和極點（poles）。黎曼找到的極點為s = 1；零點為s = -2、-4、-6……，這些從他擴展原本函數得來的零點稱為「平凡零點」（trivial zeros）。可是最重要的卻是餘下「非平凡零點」（non-trivial zeros）。黎曼在1859年寫了一篇論文，裡面提出了一個計算π(x)的公式，涉及Li(x)減去非平凡零點的總和。如果所有非平凡零點均介乎0與1之間，那麼總和將是有限的，會在x為若干大時消失，這將證明黎曼的公式以及質數理論 [1]。
的確，黎曼找到的非平凡零點都不但介乎0與1之間，還全部能以1/2 + it的方式表示，即是數值s的實數部分全為1/2，寫作Re(s) = 1/2。但黎曼未能證明所有非平凡零點的實數部分只能為1/2，於是這就成為了舉世聞名的黎曼猜想。後來，Hadamard及Poussin在1896年分別用其他方法證明了質數理論，但他們的方法並沒有解開黎曼的問題，因此黎曼猜想到現在仍未被解決。
在電影中，李學成證明了所有非平凡零點均是黎曼猜想的那樣。黎曼猜想其他的延伸版本均需要更多的證明，但如果全都被證明的話，結果將能延伸到許多其他理論，有些關乎數值極大的質數。電影裡的國家情報院擔心依靠極大質數運作的軍事以及商用加密系統的安全會受到影響，然而真正的威脅並不在與結果相關的快速質數測試；他們應該擔心的是另一個能有效將數字因式分解的方法，但那方法與黎曼猜想完全無關。
黎曼猜想本身也會延伸到其他有關連續質數之間的差距、質數理論裡的精確誤差值，以及現行方法找出其他種類質數的結果 [1]。從電影最後一幕黑板上的公式來看，李學成的下一個目標應該是嘗試解開這些問題，或是解析數論裡的其他難題。
參考資料
[1] Stewart, I. (2013). The Great Mathematical Problems. Profile Books.