生命遊戲

如果你是生命遊戲（The Game of Life）的資深愛好者，定能一眼認出這就是著名的「高斯帕滑翔翼機關槍」（Gosper glider gun）。但對新手來說，你可能會驚訝地發現這個栩栩如生的動畫效果（不斷發射滑翔機的機關槍）竟僅建基於一組看似簡單的規則 [1]（表一）。玩家開始遊戲前需指定一個「起始圖案」，該圖案將根據規則在每個回合（或稱為「世代」）「進化」。一些忠實粉絲對遊戲產生的圖案進行了分類，彙編了包含所有特殊「生命形態」的圖鑑。

表一  生命遊戲的四個規則 [1]。每格均有八個「鄰居」。灰色方格代表活格子，藍色方格則代表死格子。

John Horton Conway

半個多世紀以來，生命遊戲以其無限可能性讓無數數學家、電腦科學家和業餘愛好者為之著迷，而它的創造者，英國數學家John Horton Conway（1937-2020）的一生也是充滿奇思妙想和無窮樂趣。

1937 年出生於利物浦的Conway和同時代的一些偉大數學家在事業上踏著似曾相識的路：他自小便對數學產生濃厚興趣，然後進入劍橋大學學習數學，並於1964 年獲得該校的博士學位，隨後留校任教至1986年再轉至普林斯頓大學 [2, 3]。

然而，Conway的行事作風卻絲毫不像一個典型的學者 [3, 4]。他不喜歡被局限在普林斯頓大學的辦公室裡，而是喜歡在系裡的休息室和數學大樓的走廊遊走。作為教授的他經常帶著一些小道具（例如繩子、卡片、骰子、彈簧，甚至是玩具自行車！）去上課，有時「如果他認為學生在打瞌睡的話，就會把一隻鞋子扔向窗戶 [4]」。也許最為人津津樂道的，是他透過遊戲和謎題來研究數學。

「我很快便發現對於他〔John Conway〕來說，玩遊戲和研究數學密不可分，彷彿就像同一個活動。」

— 普林斯頓大學數學教授Manjul Bhargava [3]

末日算法

這裡要介紹另一個由Conway發明，有趣又實用的數學把戲：末日算法（Doomsday Algorithm）[5]。透過利用一組容易記住，而且每年總是落在一星期中同一天的「末日」（表二），你就能快速計算出任何一個日子是星期幾。

讓我們從一個簡單事實開始 — 2000 年的末日都落在星期二。理論上透過觀察末日在不同年份和世紀裡落在星期幾的規律，就可以歸納出能計算任何一年末日是星期幾的方法。然後，透過計算某個特定日期與其最接近的末日日期之間的差值，便能找出該特定日期是星期幾。

表二  一組容易記住，而且總是落在一星期中同一天的末日日期（你能從中發現一些規律嗎？對飢腸轆轆的數學家而言，哪個日子別具意義？）

還是感到困惑嗎？那讓我們看看一個簡單例子 [5]。提提你，如果在下文看見任何不知從何而來的數字，你可以隨時翻看文末的備忘錄。

假設我們想知道 1937 年 12 月 26 日是星期幾 ─ 猜猜看？那是Conway的生日！[2]）─ 我們可先從1900年入手。20世紀的代碼是3，意味著1900年的末日是星期三。此處要說明一個事實：同月同日的日子在下一年會在一週裡順移一天，即是例如星期一會變成星期二，而在閏年則會順移兩天。Conway又再一次分析了計算結果的規律，並總結成「年份捷徑」。就1936年而言，我們可以將年份捷徑3加到世紀代碼上，即3 + 3 = 6。因此，1936年的末日是星期六。然後我們可以從推論得知1937年的末日是星期日，因為從1936年12月26日到我們的目標日期之間沒有閏日。

最接近12月26日的末日是12月12日，所以我們將26減去12，得出14，然後將14除以7，得出餘數為0，意味著12月26日與1937年的末日都是一週裡的同一天，亦即是星期日。

太好了，我們現在知道Conway在星期日出生了！

雖然大多數人可能只將末日算法視為一個派對把戲，但Conway並不會就此罷休。他決定挑戰自己，逼自己在登入電腦時必須計算十個隨機日期，又定下每五年將速度提高一倍的目標 [6]。因此他的最佳紀錄是令人嘆為觀止的15.92秒！

聽射性數列

讀至這裡，相信有讀者已經想起我們在第二十三期介紹過Conway的另一個數學玩意：聽射性數列（audioactive sequences）。這種特殊數列裡的每個項都是透過朗讀前一個項而產生的（註一）。Conway發現了這種數列的一些有趣特性，並以化學術語加以描述，但為了避免對還未讀過那篇文章的讀者劇透，我們不會在此深入探討這種數列。

「正經」數學

儘管Conway的名字經常與數學遊戲（尤其是生命遊戲）以及謎題聯在一起，但我們絕不能忽視他在眾多「正經」的數學範疇上的重大貢獻，譬如群論、高維幾何、密鋪、紐結理論、數論、抽象代數、數理邏輯與分析等 [7]。事實上，Conway本人認為自己最偉大的成就是提出了「超現實數」（surreal numbers）的概念 [3, 4]。這個新的數字系統涵蓋了所有實數，包括整數、分數和無理數，以及「無限小」和「無限大」的數字。一如以往，Conway對「超現實數」的靈感來自於他對遊戲規則的思考 ─ 這次啓發他的是圍棋。

結語

Conway在2020年因COVID-19併發症去世對無論是數學界、全​​球遊戲愛好者，還是普林斯頓大學都是一大損失。儘管如此，他將數學視為遊戲的精神依然存在，並持續啓發著人們，當中最能體現這種延續的一例，或許就是最近在生命遊戲中發現的兩個長久以來也沒有人能找到重複圖案，它們分別會在 19 和 41個「世代」後由頭重複一遍 [1]。

末日算法備忘錄

表三甲  一星期中每天的數字代碼

表三乙  從1700年到2400年的世紀代碼。事實上，世紀代碼「0、5、3、2 ……」每四個世紀就會重複一次。換句話說，任何兩個世紀只要相差400的倍數，它們的世紀代碼都是一樣的。

表三丙  年份捷徑

參考資料

[1] Stone, A. (2024, January 18). Math’s “Game of Life” reveals long-sought repeating patterns. Quanta Magazine. https://www.quantamagazine.org/maths-game-of-life-reveals-long-sought-repeating-patterns-20240118

[2] Curtis, R. T. (2021). John Horton Conway. 26 December 1937—11 April 2020. Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, 72, 117–138. https://doi.org/10.1098/rsbm.2021.0034  

[3] Zandonella, C. (2020, April 14). Mathematician John Horton Conway, a “Magical genius” known for inventing the “Game of Life,” dies at age 82. Princeton University. https://www.princeton.edu/news/2020/04/14/mathematician-john-horton-conway-magical-genius-known-inventing-game-life-dies-age

[4] Landau, E. (2020, April 20). Remembering mathematical magician John Conway. Scientific American. https://www.scientificamerican.com/blog/observations/remembering-mathematical-magician-john-conway/

[5] Numberphile. (2021, October 31). The Doomsday Algorithm – Numberphile [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=z2x3SSBVGJU

[6] Roberts, S. (2015, July 28). John Horton Conway: The world’s most charismatic mathematician. The Guardian. https://www.theguardian.com/science/2015/jul/23/john-horton-conway-the-most-charismatic-mathematician-in-the-world

[7] Mutalik, P. (2020, October 15). Celebrating the playful magic of John Horton Conway. Quanta Magazine. https://www.quantamagazine.org/three-math-puzzles-inspired-by-john-horton-conway-20201015/