唸出數列之必要：聽射性數列
By Peace Foo 胡適之
以下是一個數列：1, 11, 21, 1211, 111221。用中文（或英文）唸一次，然後猜猜下一個項。
下一個項是：312211。
再下一個是：13112221。
你知道再之後一個項嗎？
知名數學家John Conway的學生曾經叫他猜這道謎題，但Conway沒有成功 [1]。然而答案並不難：第一個項是1，對自己唸一次：「一個一」（one 1），那就是11。唸一次11：「兩個一」（two 1’s），所以是21。唸一次21：「一個二，一個一」（one 2, one 1），1211。唸一次1211：「一個一，一個二，兩個一」（one 1, one 2, two 1’s），111221。由於這個數列是透過朗讀而產生，Conway稱之為「audioactive sequence」（像「radioactive」般具「放射性」，而「audio-」表示與聽力有關）[2, 3]，中文則對應另一個名字「look-and-say sequence」而常被譯作「外觀數列」。
這道題目據說源於1977年國際數學奧林匹克 [4]。當Conway從劍橋數學學生口中得知而一時未能解答後，他決定把問題改得更難，為甚麼？這其實是數學家解答問題的標準程序：把問題弄得更困難而更具概括性能有助思考如何一舉解決問題的所有版本。
使這道問題複雜化的方法明顯就是允許數列從任何數字開始。Conway著手解決後其中一樣注意到的是只有數字1、2和3是「自然存在」的 [1]；如果想其他數字出現在數列中，就必須在數列的第一個項加入該數字。因此數字1至3應該內藏著某些「玄機」，如果我們要探究這個問題，就得專注於這三個數字。
事實上，事情比我們想像的還要巧妙，如果我們把數列的項都一一寫出，寫到某個位置以後你會發現一些值得研究的事情。13112221的下一個項是11132 | 13211，然後是311312 | 11131221，再之後是1321131112 | 3113112211。留意中間把字串分開的直線，如果我們僅把前面部分的11132取出並當成一個獨立的項的話，之後我們會得到311312、1321131112……它們正是原來數列之後兩個項的前面部分。後面部分的13211也是一樣。從這個項起，字串中的前後部分再不會互相干涉 [1]，Conway稱這個現象為「分裂」（split）。及後他著手尋找不能分裂的字串，儘管這樣的字串是無限多的，然而他發現有92組字串既不能分裂，但最終會全數出現在所有可能數列所產生的項當中（除了22，因為之後所有項都只會是22）[3]。由於Conway實在太掛念在學時讀的化學科，他叫這些字串「原子」或「元素」，而例如1113213211這些稍為複雜、可以分裂的字串則叫作「化合物」，化合物分裂成元素的過程就被稱為「聽射性衰變」（audioactive decay）[5]。想像力夠豐富了吧？
那甚麼時候會分裂呢？以字串11132 | 13211為例，你可以看見第一部分11132的結尾數字為2，不管第二部分的字串是甚麼，第一部分之後的項都會以2結尾。另一方面，13211以1起首，而之後的項也只能以1和3起首，絕不可能是2，因此它永遠不會與第一部分的字串混在一起 [1]。
每種「聽射性元素」都依照真實元素表上的首92種元素被冠以一個名字，從氫到鈾（見表一）；11132是鉿，而13211是錫。
| 元素 | 長度 | 字串 |
| 92 鈾 | 1 | 3 |
| 91 鏷 | 2 | 13 |
| 90 釷 | 4 | 1113 |
| … | ||
| 1 氫 | 2 | 22 |
表一 一些Conway元素的長度和字串 [5]（全表可見於此。）
名字分配的方式希望反映真實放射性衰變中元素會衰變成質量較輕元素的特點，例如鈾（3）衰變成鏷（13），然後是釷（1113），如此類推。由此我們可能會推論較輕元素應該在聽射性衰變下擁有較長的字串，但元素有時也會衰變成由數個較短元素組成的字串組合，令較輕的元素反而比上一個元素短 [3]，例如接著釤（311332）的是鉕（132）。311332的下一個項應該是13212312，但它可以分裂成三種較輕的元素：鉕（132）、鈣（12）和鋅（312）。此外，最初1、11、21、1211到13112221這數個項被特別命名為「太初元素」（primordial elements），因為它們不會衰變，但也不會出現在所有可能的數列中 [5]。重申一點，Conway只專注於這92組字串是因為它們在數學上「足以概括」（sufficiently general）整條問題；簡而言之，亦即是無論數列以甚麼字串開首，這92組字串都足以告訴我們一些關於這個數列的有趣事情。
從上文已能猜測出既然全部元素都會出現在一個衰變過程中，那任何可能的衰變過程最終都只會得出這92種元素。可是，所有數學家都深知「猜測」是不足夠的。Conway在另一個數學家的幫助下用了一個月時間證明這個猜想，並稱之為「宇宙論定理」（Cosmological Theorem）[3]。不久之後出現了更簡單的證明，但不幸地兩份證明都沒有被公開發表。結果後來被其他數學家重新證明 [6]。
這個定理亦意味著所有數列裡前後兩個項的長度會以一個固定的率增加 [3]。在我們原來以1開始的數列裡，每個項字串的長度分別為：1、2、2、4、6、6、8、10、14、20……稍作計算就能發現前後項長度之比會趨近1.303577…… [1]。參考宇宙論定理的證明，運用一些線性代數後便會得知這個比例的值是某高次方程（high-ordered equation）的解，該方程最高次項的次數可達92次（即最高次項可為x92）[3]。Conway和同事之後推論出1.303577……其實是某一條71次方程的最大實根，但我們深怕把這條長得可怕的方程列出會嚇怕讀者，故不在此展示了 [2]。
為何一個如此簡單的數列最終會涉及駭人的衰變鏈、矩陣和71次方程呢？的確很難想像事情為何會向這方向發展，但它告訴我們只要你懂得怎去尋找，即使是最簡單的問題也可以衍生出最有趣的數學。數學是一項運動，數學家喜歡挑戰自己。不時為自己尋求新挑戰，運用智慧問正確的問題，然後像阿拉丁的奇幻洞窟一樣，一扇通往奇妙新世界的知識大門就會為你而打開。
參考資料：
[1] Numberphile. (2014, August 8). Look-and-Say Numbers (feat John Conway) – Numberphile [Video file]. Retrieved from https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA
[2] Bonato, A. (2018, May 2). Audioactive Sequences. Retrieved from https://anthonybonato.com/2018/05/02/audioactive-sequences/
[3] Conway, J. H. (1987). The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay. In T. M. Cover, & B. Gopinath (Eds.), Open Problems in Communication and Computation (pp. 173–188). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4808-8_53
[4] Mowbray, M., Pennington, R., & Welbourne, E. (1986). Prelude. Eureka, (46), 4. Retrieved from https://www.archim.org.uk/eureka/archive/Eureka-46.pdf
[5] Hilgemeier, M. (1993). Audioactive Decay. Retrieved from http://www.se16.info/mhi/Part1.htm
[6] Ekhad, S. B., & Zeilberger, D. (1997). Proof of Conway’s Lost Cosmological Theorem. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 3, 78–82.