如何不失禮地吃薄餅？
By Devandhira Wijaya Wangsa
薄餅慘劇
如果你現在要吃一塊薄餅，你會怎樣做？通常事情會這樣發生：
- 你握住薄餅邊緣。
- 薄餅從你手中垂下，來回搖晃。
- 配料掉到桌上，你無奈地坐在那裡，看著桌子變成一團糟！
自薄餅誕生多個世紀以來，這一直都是我們吃薄餅的悲慘宿命。然而，你只要從批邊將薄餅沿長邊對折，就能使薄餅保持筆直，然後輕鬆地吃掉薄餅。姑且讓筆者稱這個方法為「高斯握法」，靈感來自數學家卡爾．弗里德里希．高斯（Carl Friedrich Gauss）！
從數學角度看，這個秘技與一個叫曲率的概念有關。曲率的概念對我們來說並不陌生，它是衡量「彎曲」程度的一個值。對於一維曲線，曲線在某一點上越為彎曲，其曲率就越大。從數字上量化的話，一個半徑為 r 的圓在每一點上的曲率均為1/r，因此大圓的「彎曲程度」比小圓要小。那很自然地，直線上任何點的曲率皆為零，即是沒有彎曲。此處要注意的是描述某一點的曲率是較為可取的做法，因為曲線在不同點上可以有不同的曲率。
然而，在我們原本的問題中，我們處理的是一個表面（嚴格來說，因為薄餅有厚度，所以並不是一個表面，但我們可以暫且將其視為一個表面）。那麼，曲率的概念如何與屈曲表面的法則相關呢？須知道有種曲率叫「高斯曲率」，答案就在於一個與其相關的絕妙結果。
高斯曲率
讓我們討論如何描述一個表面的曲率。試想像一個三維物體的表面，譬如紙張、球體、圓柱體、品客薯片，甚或是甜甜圈。對於表面上的某一點，你會發現曲率會根據所考慮的表面方向而有所不同。更具體的例子請看圖一的表面，試找出圖表中心點（原點）的曲率。
圖一 一個在中心點（原點）同時具有正（紅）和負（藍）法曲率的表面（註一）。
根據我們所考慮的表面方向（紅或藍），我們會得出不同曲率：紅色曲線兩側向上彎，而藍色曲線兩側向下彎。這麼，在中心點上，我們可以說紅色曲線具有正曲率，而藍色曲線具有負曲率（正負純粹取決於慣用定義）。此處要注意的是即使這些曲線跨越整個表面，但我們只考慮中心點的曲率。
我們稱之為「法曲率」— 即是在考慮穿過該點的某曲線下，一個表面在該點的曲率（註二）。在我們的例子中，該表面在朝紅色曲線的方向上具有正法曲率，而在朝藍色曲線的方向上具有負法曲率。
現在想像一下，我們透過繪畫朝向每個可能方向的所有曲線，來考慮某一點上的所有可能法曲率。在這些可能性中，必然存在最大和最小法曲率（註三），將這兩個曲率相乘便能得出高斯曲率。
讓我們看看圖二的三個例子。第一個表面在標記點上具有正高斯曲率，因為最大和最小法曲率皆為正數，因此它們的乘積也是正數。以相同道理推敲，可以得知其餘兩個形狀分別具有零和負的高斯曲率。儘管還有其他方法可以描述某一點上的表面曲率，例如平均曲率等，但只有高斯曲率與我們的問題相關。
（甲）  | （乙）  | （丙）  |
圖二 高斯曲率是透過將表面上某一點的最大（藍）和最小（綠）法曲率相乘所得。圖中三個表面在標記點上分別具有（甲）正、（乙）零和（丙）負高斯曲率。
絕妙定理
那麼，為甚麼高斯曲率重要呢？我們必須了解高斯所提出的「Theorema Egregium」，這在拉丁語中解作「絕妙定理」（remarkable theorem）。該定理指出，高斯曲率是一個表面的內在本質，意味著只要不把表面拉長，單單屈曲表面是不會令表面上每一點的高斯曲率改變。
為了理解這個概念，試想像將一張紙卷成圓柱狀。由於在平坦紙張上各處的高斯曲率都是零（所有方向的法曲率均為零），根據絕妙定理，我們知道圓柱上每一點的高斯曲率也是零。事實上正如圖三所示，確實如此，因為每一點的最小法曲率均是零，因此乘以零得出的積亦是零。
圖三 扁平的紙張（左）和由其卷成的圓柱（右）。兩者的高斯曲率均為零，圓柱在標記點上的最小（= 0）和最大法曲率分別以綠色和藍色表示。
絕妙定理帶來的重要啟示是球體無法被完全攤平，因為球體的高斯曲率為正，而平面的為零，所以我們無法在沒有「拉伸」的情況下建立平面的世界地圖，故此世界地圖必須失真以補償高斯曲率。更有趣的是，儘管沒有地圖能按實際面積比例繪畫所有國家，但我們仍能編製出方位正確的地圖，例如以麥卡托投影法（Mercator projection）製作的地圖（註四）。這種地圖對航海等用途至關重要，因為它能確保人們按照地圖上顯示的角度行駛就能到達目的地。
圖四 以麥卡托投影法編製的世界地圖。它能保留實際角度，但不反映實際面積，明顯地高緯度地區嚴重變形。
圖片來源：Daniel R. Strebe [1]
如何不失禮地吃薄餅？
最後回到我們吃薄餅的高斯握法。由麵團在烤焗前被擀平的一刻，薄餅每一點的高斯曲率均注定為零。透過屈曲批邊將薄餅沿長邊折疊，而不是沿其他方向，我們就能保持薄餅在每一點上均有零法曲率來維持其零高斯曲率（再次參考圖二），使薄餅能穩定地沿長邊挺直，令薄餅的尖端能安全抵達到我們的嘴巴。
恭喜！現在你不僅知道如何優雅地吃薄餅，還知道背後的原理。這個關於表面曲率的問題屬於微分幾何的範疇，該範疇探討光滑形狀的幾何，並涉及微積分和線性代數上的數學技巧。事不宜遲，就試用高斯握法吃薄餅吧！
- 知多一點點：透過圍繞中心旋轉表面，你應該能找到一條法曲率為零的曲線，亦即是一條直線。你能找到嗎？
- 事實上，有更嚴謹的方法找出相對於某一方向的法曲率，那需要沿該方向建立一個垂直平面，該點的法曲率正是垂直平面與表面相交線上該點的曲率。
- 這是由於極值定理（extreme value theorem），因為旋轉光滑表面以考慮每個方向是一個連續過程，因此法曲率必定會達到最大值和最小值各至少一次。
參考資料
[1] Strebe, D. R. (2011, December 16). [The world on Mercator projection between 85°3'4"S and 85°3'4"N]. Wikimedia Commons. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mercator_projection_Square.JPG
