整數之間的維度：我們能測量海岸線的長度嗎？

By Devandhira Wijaya Wangsa

測量海岸線

香港的海岸線有多長？以下是來自不同組織的答案：

• 美國中央情報局：733公里 [1]
• 世界資源研究所：955公里 [2]
• 香港環境保護署：1,178公里 [3]

甚麼導致這些數據之間的差異？英國數學家Lewis Fry Richardson（1881–1953）曾經研究邊境長度與爆發戰爭之間的關聯，但他亦對文獻中不一致的邊境長度感到無所適從 [4]。他發現葡萄牙一方的資料報告其與西班牙的邊境長度為1,214公里，而西班牙一方則聲稱長度為987公里 [5]。這個差異及後延伸出「海岸線悖論」的發現。

為甚麼對同一海岸線作的測量結果會有所不同？讓我們先了解如何有系統地量度複雜形狀的長度。對於由數學函數定義的光滑曲線（例如沒有角的曲線），我們可以用微積分來計算其確實長度。然而，對於像海岸線那些現實世界中參差不齊的非規則形狀，並沒有一條簡單公式行得通。它們的複雜性需要有系統的方法來對付，例如使用多條固定長度的線段來準確地估計長度，確保每次量度都能得出一致的結果。

試想像一條光滑但看似隨意的曲線（圖一甲）。憑直覺思考，我們似乎可以用一根線來模仿其形狀。儘管這是一個準確的方法，但實際在電腦上並不能這樣操作。這也不是有系統的方法，因為繩子的形狀取決於它的放置方式，使每次量度結果不一致且難以重複，尤其當我們將此方法應用於複雜如海岸線的形狀時。換個方法，我們可以使用長度相等的直線段 — 姑且稱之為「小棒」 — 來估計曲線長度，正如圖一乙和圖一丙就使用了不同長度的小棒。我們將小棒的長度相加，以獲得曲線長度的近似值。隨著我們選用更短的小棒，就可以期望近似值將變得越發準確。在理想情況下，當每根小棒的長度足夠短時，我們就可以對曲線長度作出非常精準的估計。

（甲）

（乙）

（丙）

圖一  （甲）一條光滑但看似隨意的曲線。（乙及丙）分別使用兩款長度相等的直線段來估計曲線長度。

可是，當人們用這個方法測量大不列顛島的海岸線時，結果卻出人意表。使用較短的小棒會得出驚人的長度：使用一米小棒時海岸線將超過15,000公里 [6]，這比地球直徑（12,756公里）還要長 [7]！結果違反我們對「更精細量度能帶來更準確結果」的預期，因此顯然地，海岸線並不是一個尋常的形狀。

碎形

圖二甲展示了科赫雪花（Koch snowflake），一個可以幫助我們理解上述悖論的圖形。圖二乙說明了解圖形的構建方法：

1. 首先畫一條長度為1的直線段。
2. 將其分為三條等長的線段（因此每條線段的長度為1/3），然後用等邊三角形的兩條邊替換中間的線段。
3. 對現有的每條線段執行第二步。
4. 透過無限次重複這個過程，您將能構建出科赫雪花的頂部。要獲得完整形狀，只需要複製出三個副本並將它們按三角形方式排列。

 

（甲）

（乙）

圖二  （甲）科赫雪花及（乙）如何透過一系列重複的步驟構建科赫雪花。

光滑曲線被放大時形狀會變得簡單，但科赫雪花與光滑曲線不同，它在每個比例下形狀始終保持複雜（圖三）。進一步放大會顯現更多細節，而每個層次上的圖案都展示出相似性，使其成為「碎形」。要計算其三條邊之中其中一條的長度：

• 記得我們最初由一條長度為1的線段開始。
• 下一回合產生出四條長度為1/3的線段，使總長度為4/3。
• 第三回合將每條線段再變為四分，得出16條長度為1/9的線，使總長度為16/9……

如此類推，每回合的總長度構成了一個公比為4/3的等比數列。由於公比大於一，長度將無限增大，因此科赫雪花有無限長的周界。

像科赫雪花這樣具無限長度的曲線被稱為「不可求長曲線」，它們無法像一條繩子般被「拉直」然後量度長度。

（甲）

（乙）

圖三  上圖展示（甲）光滑曲線被放大時幾乎簡化成一條直線，而（乙）科赫雪花在每個比例下形狀始終保持複雜。

值得注意的是，許多著名的碎形均展示出「自相似性」，意味著它們在不同縮放比例下看起來都相似，比如曼德布洛特集合（Mandelbrot set）、朱利亞集合（Julia set）、謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle或Sierpinski gasket）及謝爾賓斯基地毯（Sierpinski carpet）。

碎形維度

讓我們以直覺思考：我們對形狀的經驗告訴我們，任何有界的一維物體（如線段）都有非零但有限的長度，且其面積為零；有界的二維物體（如表面，例如一張紙）則因為可以被視為由無數條線構成，所以具有無限「長度」，而同時擁有非零但有限的面積。這樣的話，科赫雪花又應該如何定位呢？如果我們把科赫雪花視為中空的形狀，那麼它同時擁有無限周長但零面積這一點，就反映了其維度介乎一和二之間。

這個直觀的想法讓我們萌生非整數維度的概念 — 碎形維度，它能描述幾何形狀的「複雜性」。

例如在找出科赫雪花的碎形維度之前，讓我們回顧維度的定義：試想像一個邊長為1的二維正方形，我們知道將其邊長乘二，會獲得4 = 2²個原來的正方形；乘三就會獲得9 = 3²個原來的正方形，這正因為該正方形是二維的。簡單來說，放大或縮小一個維度為d的形狀時，若縮放因子為c，結果將會得出c^d個原來形狀的副本（你可以嘗試用一條線或立方體來驗證這一點）。

現在讓我們檢視科赫雪花的頂部。根據雪花的構建方法，將雪花放大為原來的三倍將得出四個原來形狀的副本。因此，如果我們需要決定科赫雪花的維度d，那麼根據上述推理，公式將變成4 = 3^d，換言之d = log 4 / log 3。

那麼海岸線呢？嚴格來說，海岸線並不是碎形，因為碎形是抽象的理論圖形，但海岸線具有碎形的部分特徵，與碎形相似得人們會嘗試計算其碎形維度，譬如在地圖上看起來光滑的南非海岸線擁有1.02的碎形維度，而西班牙與葡萄牙的邊界，以及英國西海岸的碎形維度分別為1.14和1.25 [8]，意味著它們的形狀較為複雜。

結論

討論了這麼久，到底我們能測量海岸線的長度嗎？海岸線悖論的關鍵在於海岸線屬於不可求長曲線，因為現實世界中不存在完全光滑的邊界；當您在地圖上放大海岸線時，總是出現更多彎曲的部分（通常是岩石），使海岸線的長度增加。

此外，長度還取決於所採用的標準。不難想像，不同漲退水位下測量的海岸線長度會顯著不同，因為高潮時陸地可能會被淹沒而變得不可見。如果海岸線上有一條河流，是否以及如何將河口及其支流納入海岸線長度將會是一個具挑戰性的問題。因此，簡單的答案是：沒有海岸線可以被客觀地量度。

參考資料

[1] Central Intelligence Agency. (2025, August 6). Hong Kong. The World Factbook. https://www.cia.gov/the-world-factbook/countries/hong-kong/#geography

[2] World Resources Institute. (2012, Apr 19). Coastal and Marine Ecosystems — Marine Jurisdictions: Coastline length. EarthTrends. https://web.archive.org/web/20120419075053/http://earthtrends.wri.org/text/coastal-marine/variable-61.html

[3] Hong Kong Government. (2024, September). Hong Kong: The Facts – Environmental Protection. https://www.gov.hk/en/about/abouthk/factsheets/docs/environmental_protection.pdf

[4] Hayes, B. (2021). Statistics of Deadly Quarrels. American Scientist, 90(1), 10–15. http://www.jstor.org/stable/27857587

[5] Crilly, T. (1995). Reviewed Work: Collected Papers of Lewis Fry Richardson. The Mathematical Gazette, 79(486), 625–628.

[6] Spatial Data Science. (n.d.). The length of a coastline. https://rspatial.org/cases/2-coastline.html

[7] The Imagine Team, Goddard Space Flight Center. (2020, October 22). The Cosmic Distance Scale. Imagine the Universe! https://imagine.gsfc.nasa.gov/features/cosmic/earth_info.html

[8] Mandelbrot, B. (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, 156(3775), 636–638.