歐拉數e的魔力
By Jane Yang 楊靜悠
甚麼是歐拉數？
你是否遇過能連結數學、科學與我們周遭世界的數字？歐拉數是其中非常有趣的一個，經常被寫作e。這是一個特殊的常數，約等於2.718，亦是無數自然與科學現象的核心。作為自然對數的基礎，它能幫助我們理解事物隨時間增長或衰減的過程。從實驗室繁殖的細菌到天空逐漸黯淡的星星，e出現在無數自然現象中 [1]。令人驚訝的是，這個數字最初並非在科學實驗室中被發現，而是源自一個關於金融的謎題。讓我們一起探索e如何變得不平凡。
發現於金融的數學瑰寶
e的故事始於17世紀，當時數學家Jacob Bernoulli對微小變化的累積方式感到興趣 [2, 3]。假設你有1.00元，並獲得一個不切實際的100%年增長率。如果這筆增長在年底一次性計算，你的1.00元會翻倍成2.00元。但如果增長結算得更頻繁呢？
假設每年計算兩次，每六個月增長50%，那麼你的1.00元在年底會變成1.00 × 1.5 × 1.5 = 2.25元。如果每年計算四次，每次增長25%，你的1.00元會變成1.00 × 1.25 × 1.25 × 1.25 × 1.25 = 2.44元。每月計算則為1.00 × (1 + 1/12)^12，約為2.61元。規律很明顯：計算越頻繁，結果越大。
然後最興奮的部分來了。如果增長每天、每分鐘，甚至每秒計算一次呢？公式將變為1.00 × (1 + 1/n)^n，其中n是計算增長的次數。當n趨近無限大時，結果並不會無限增長，而是趨近於2.718281828459045...。這個數字就是e！Bernoulli發現了這個常數，揭示了這個意義遠超過他最初問題的數學瑰寶。
e在我們世界中的力量
為甚麼e如此重要？這個數字以在18世紀深入研究其性質的Leonhard Euler命名，及後成為了理解出現在生物學、物理學、醫學和工程學等領域中指數變化的鑰匙。其獨特性質使它成為一個理想工具去描述正在加快或減慢的過程，例如越滾越大的雪球或逐漸消逝的耳語。它還能簡化複雜問題，成為科學家和工程師的首選工具。
在生物學中，e用於為種群增長建立模型。想像一個每小時數量翻倍的細菌群落，其平滑且越發陡峭的增長曲線以e來預測一天或一週後的細菌數量 [4]。在生態學中，e協助追蹤動物種群的擴張或資源（如魚類）在過度開發下的衰減。保育人士用e估算瀕危物種在受保護情況下的恢復進度 [4]。在物理學和化學中，e描述衰變過程，例如鈾等放射性元素如何隨時間流失能量。科學家依賴e計算物質的半衰期，即一半物質分解的所需時間，這對於醫院及核電廠安全處理放射性物質至關重要。
在日常生活中，e在工程和科技上大放異彩，使我們生活變得便利。它為電路中電容器如何儲存電荷提供量化描述，是設計手機和電腦等設備的關鍵。在醫學中，e幫助追蹤藥物在人體中吸收或清除的速度，協助醫生判斷安全劑量。在技術領域，e是訊號處理算法的基礎，確保耳機能播放清晰的音頻和網站能播放流暢的串流短片。
看似微小數字的巨大影響
e的特別之處在於它連結了上述各式各樣的現象。它約為2.718的值看似微小，但影響力巨大。下次當你聽到病毒散播、物種保育或簡單如一杯茶冷卻時，想想e — 這個默默無聞卻在解開世界奧秘中扮演重要角色的數字。
現實的考古問題：碳-14定年法
碳-14定年法是考古學上用於測定有機樣本年齡的方法，測定範圍從500年到50,000年 [5]。碳-14是不穩定的放射性同位素，會衰變成氮-14。活植物透過固碳作用將大氣中的碳-14納入其組織，經食物鏈傳遞至動物。活體組織中的碳-14比例相對穩定，因為生物不斷攝入空氣和食物，抵消了碳-14的持續衰減；但生物一旦死亡，碳-14含量就會出現淨減少。
衰變過程可以用指數衰減函數表示：N = N0e-kt，其中N是未衰減核的數量，N0是初始未衰減核的數量，k是衰變常數，t是經過的時間 [6, 7]。碳-14的半衰期t1/2，即放射性同位素衰減一半所需的時間，約為5,730年。如果我們有一塊古代木材，其碳-14含量是活樹的四成，試計算：
1) 衰變常數k（準確至四位小數）。
2) 木材的年齡（準確至最接近的年）。
參考資料
[1] 3Blue1Brown. (2017, May 2). What's so special about Euler's number e? | Chapter 5, Essence of calculus [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=m2MIpDrF7Es
[2] Kenton, W. (2025, May 10). Euler’s Number (e) Explained, and How It Is Used in Finance. Investopedia. https://www.investopedia.com/terms/e/eulers-constant.asp
[3] Reichert, S. (2019). e is everywhere. Nature Physics, 15(9), 982. https://doi.org/10.1038/s41567-019-0655-9
[4] Vandermeer, J. (2010). How Populations Grow: The Exponential and Logistic Equations. Nature Education Knowledge, 3(10), 15. https://www.nature.com/scitable/knowledge/library/how-populations-grow-the-exponential-and-logistic-13240157/
[5] Augustyn, A. (2025, May 28). Carbon-14 dating. Encyclopaedia Britannica. https://www.britannica.com/science/carbon-14-dating
[6] Friedrich, K. (2023, March 16). Euler’s Number Is Seriously Everywhere. Here’s What Makes It So Special. Popular Mechanics. https://www.popularmechanics.com/science/math/a43341607/what-is-eulers-number/
[7] Boelkins, M. (2022). Mathematics of carbon dating. EBSCO. https://www.ebsco.com/research-starters/mathematics/mathematics-carbon-dating