樂理家如何決定每個音符的音高？
By Jane Yang 楊靜悠
引言
我們從幼稚園時期就學會唱「do-re-mi-fa-sol-la-ti」，而在樂理中，這個概念被稱為音律或音階。我們還學過所有聲音本質上都是衝擊耳膜的振動，這些振動的頻率決定了音高。那麼，你有否思考過樂理家是如何從數軸上無窮多的選擇中，為「do-re-mi-fa-sol-la-ti」裡的每個音符選定音高呢？在這篇文章裡，我們將介紹「畢氏音律」─ 一種普遍認定為由古希臘數學家畢達哥拉斯提出的早期音樂音階 [1, 2]。我們還會探討樂理家和數學家後來如何發展出「十二平均律」，這種音階自19世紀以來一直都是西方音樂最廣泛使用的音階 [1]。
畢氏音律
首先讓我們了解「八度」這個概念：在數學上，如果兩個音符的頻率比為2:1，它們就是相差一個八度，例如標準「中音A」的頻率為440 Hz（註一），亦即每秒振動440次，那麼比它高一個八度的A的頻率則為880 Hz。當同時演奏這兩個音時，重疊的聲音聽起來會和諧得使人腦認為它們是「相同」的音符，只是後者的音高較高而已，這種相似性被稱為「等價八度」[1, 2]。
因此，就創造一個音階而言，我們只需要考慮一個八度，亦即是循環裡的一次「do-re-mi-fa-sol-la-ti」。然後我們可以藉等價八度的特性，將八度內的音符頻率乘或除以任何二的次方數，以獲取更高或更低的八度。畢達哥拉斯還發現當兩個音符的頻率比為3:2，即是相隔一個「五度」時，同時演奏這兩個音也會有非常悅耳的效果。因此，他決定音階裡要儘可能包含最多的3:2和2:1比例，以便作曲家創作。
顯然，畢達哥拉斯當時應該無法得知每個音符的準確頻率，因此調音可能只是透過聆聽音高來估計一個音與基準音之間的相對距離來完成。然而，為了方便理解，讓我們從現代角度揭示這古老的調律方法。
為了決定八度內每個音的頻率，畢達哥拉斯先從440 Hz的A音入手，將其頻率乘以3/2以獲得660 Hz這個音。透過再乘以3/2，他得到990 Hz，但這超出了八度範圍（即大於880 Hz），因此他將其除以二以獲得等價的495 Hz。畢達哥拉斯重複這個乘以3/2，然後如果得出頻率超過880 Hz則把其除以2的過程，直至得到一個由七個不等價音符組成的音階為止，這音階足以演奏簡單旋律 [1]。他把這些音按頻率順序排列，創造出一個與現代版本非常相似的音律（表一）。
| 比例 | 1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2 |
| 頻率 (Hz) | 440 | 495 | 557 | 587 | 660 | 743 | 835 | 880 |
表一 畢氏音律中各音符的頻率以及它們與A音頻率之比。數值四捨五入至最接近的整數。
十二平均律
然而，畢氏音律中的七個音符僅僅足以演奏簡單旋律。在檢視畢氏音律的不足之前，讓我們先了解現代的「十二平均律」。這種音律將一個八度分為12個相等的音程。但要注意的是，我們大腦是以頻率間的比例而非差異來判斷兩個音之間的距離，因此音階中每個音符的頻率應具有指數關係，每對相鄰音符之間的比例r滿足r12 = 2，即r = 21/12。透過將起始頻率乘以比例r = 21/12 12次，我們就可以獲得八度內所有音符的頻率（表二）。
| 比例 | 1 | 21/12 | 22/12 | 23/12 | 24/12 | 25/12 | 26/12 |
| 頻率 (Hz) | 440 | 466 | 494 | 523 | 554 | 587 | 622 |
| 比例 | 27/12 | 28/12 | 29/12 | 210/12 | 211/12 | 2 | |
| 頻率 (Hz) | 659 | 698 | 740 | 784 | 831 | 880 |
表二 十二平均律中各音符的頻率以及它們與A音頻率之比。數值四捨五入至最接近的整數。表中以粗體表示的頻率在鋼琴中由黑鍵演奏。
調性變換
那麼，為甚麼十二平均律比畢氏音律更受青睞呢？你可能聽過一個音樂術語叫「轉調」，它在數學上是指將旋律中每個音符的頻率乘以一個常數，這樣做的話人腦仍會將新旋律視為與舊旋律相同，因為任何兩個相鄰音符之間的音程（即頻率比）保持不變 [1]，例如一段由440 Hz、660 Hz和733.3 Hz音符組成的旋律聽起來與由550 Hz、825 Hz和916.6 Hz組成的是同一個旋律。音樂中的調性變換為音樂家提供表達情感的途徑：在樂曲中途轉換到更高調性可以表達振奮和鼓舞，而降低調性則可以傳達悲傷或平靜的感覺。此外，通過降低歌曲的調性，音域較低的歌手也能夠演唱原本包含高音的歌曲。
了解調性變換的概念後，你會發現轉調能完美地在十二平均律中執行，因為任何相鄰音符之間的頻率比是一個常數 [1, 2]，譬如鋼琴手只需在以十二平均律調音的鋼琴上將旋律中每個音符順移一個鍵，就能完成調性變換，而鍵盤上有限數量的鍵足以涵蓋調性變換所需的任何音符。
另一方面，畢氏音律中的七個音符並不足夠進行調性變換，因為相鄰音符之間的頻率比並不恆定，可以是9:8或256:243 [2]。我們必須延續畢達哥拉斯的計算以創造出更多的音符，才能從任何音符起進行調性變換。透過將他的計算擴展到第一個八度之外，我們希望頻率會在某處返回起點的440 Hz，這樣我們就不會製造出無限多的音符。然而，這已被證明是不可能的，因為(3/2)n永遠不會是二的次方數，因此我們需要製造無限多的黑鍵來讓樂器進行調性變換，但這是不切實際的 [1]。雖然畢達哥拉斯的計算在某處已非常接近所需的頻率440 Hz，但仍存在一個被稱為「畢氏音差」的小差距 [2]。這個略高於一的頻率比1.0136:1使音樂家和數學家苦惱不已，直到十二平均律出現為止（註二）。
發明十二平均律的歷史爭議
有個有趣巧合，就是十二平均律由中國數學家、物理學家及音樂理論家朱載堉於1584年提出，然後在1585至1608年間由佛蘭德數學家Simon Stevin給予數學上的定義 [3]。對於二人當中是誰發明了十二平均律，以及輾轉間二人到底是否得知對方研究這件事至今仍然存在爭議 [3, 4]，但也許我們永遠無法得知真相。
儘管如此，我們能從中學到的是今天我們視為理所當然的任何事物，可能都是前人經過幾千年努力所取得的成果，背後可能也有科學上的根據。從畢達哥拉斯的早期研究到十二平均律的發明，數學家塑造了我們今時今日所聆聽的音樂。因此下次當你唱「do-re-mi-fa-sol-la-ti」時，希望你能回想起這些熟悉音符背後的數學故事，感慨音樂世界中的數學之美。
1 中音A：在C大調（音樂中最簡單的調之一），「do-re-mi-fa-sol-la-ti」分別對應C、D、E、F、G、A、B。作為樂器調音的標準音符，中音A對應C大調中的「la」。根據ISO 16標準，它的頻率應為440 Hz，但某些管樂團有時為了迎合管樂器會將它調成442 Hz [5]。
2 編按：1.0136是由312 / 219所得，即是升12次五度和降七次八度。
參考資料
[1] Formant. (2022, August 12). The Mathematical Problem with Music, and How to Solve It [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=nK2jYk37Rlg
[2] Benson, D. (2008, December 14). Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press. https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf
[3] Yung, B. (1981). A Critical Study of Chu Tsai-yü's Contribution to the Theory of Equal Temperament in Chinese Music. By Kenneth Robinson. Additional Notes by Erich F. W. Altwein; Preface by Joseph Needham. Wiesbaden: Franz Steiner Verlag (Sinologica Coloniensia Band 9), 1980. x, 136 pp. Figures, Appendixes, Bibliography. N.p. The Journal of Asian Studies, 40(4), 775–776.
[4] Kuttner, F. A. (1975). Prince Chu Tsai-Yü's life and work: A re-evaluation of his contribution to equal temperament theory. Ethnomusicology, 19(2), 163–206.
[5] International Organization for Standardization. (1975). ISO 16:1975 Acoustics — Standard tuning frequency (Standard musical pitch). https://www.iso.org/standard/3601.html