熱巧克力裡的物理

By Randy Stefan Tanuwijaya

如果您像我一樣是咖啡愛好者的話，那麼，您知道以下一個關於熱巧克力效應（Hot Chocolate Effect）的簡單實驗後，一定會更喜愛咖啡。這個有趣又美味的實驗需要的材料垂手可得 — 就是您手上的那杯咖啡。更具體地說，我們需要一隻杯、熱水、一枝鐵匙和即溶咖啡粉或可可粉 — 這些都是在廚房可以找到的。這個實驗的吸引之處是完結時您可以享用到一杯醇厚的咖啡。

實驗步驟

與平時不同，先把熱水倒進杯裡，留少許空間給稍後加入的咖啡粉。
透過杯耳拿起杯子，用鐵匙輕敲杯底。細心聆聽敲擊聲，並記住音調。
把咖啡粉倒進杯裡，快速攪拌。
趁杯中液體還在旋轉時，連續敲擊杯底。第一下敲擊聲會比之前沒有咖啡粉的低音，但音調會隨每下敲擊提高，直至回復為止。
再次攪拌液體，音調會再一次降低。聆聽敲擊聲的改變。
記得在咖啡冷掉之前享用咖啡！

實驗解說

這個簡單現象背後的解釋會是什麼呢？答案關乎聲音在液體中的傳播。同時是天才音樂家的加州大學柏克萊分校美籍物理學家Frank S. Crawford曾在1982年對這個現象作出解釋 [1]。

解釋這個現象只需簡單物理，涉及的定理您可能也在課堂中學過。我們可以把杯子看成一端封閉的閉管樂器，然後我們聽到的頻率是基頻（fundamental frequency），那是閉管能夠產生而擁有最低頻率和最長波長的聲波，其波長等於我們容器高度的四倍。把 $\lambda = 4h$ 代入 $v=\lambda f$ ，我們可以得到：

$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{1}{4}\frac{v}{h}$

這裡 $f$ 是聲音頻率， $\lambda$ 是波長， $v$ 是聲音傳播的速度， $h$ 是杯的高度。由於杯的高度和形狀都不會隨著我們敲擊而改變，那增加的一定是聲音在液體傳播的速度！

那麼，為何增加的是聲音傳播的速度呢？這是因為困在咖啡粉之間的氣泡會在您劇烈攪拌咖啡時被釋放出來。由於聲音在液體中傳播的速度比在空氣中快很多，因此氣泡會減慢聲音傳播的整體速度，基頻亦會被降低。更準確地說，氣泡降低了液體的體積彈性模量（bulk modulus；見註釋），令液體更具壓縮性（或彈性）。隨著氣泡逐漸從表面逃逸，聲音傳播的速度會慢慢回升，令音調亦隨之上升。

體積彈性模量又稱為物質的不可壓縮性，即是其抗壓縮的能力。譬如說，空氣的抗壓縮能力比液體低，空氣因此有較低的體積彈性模量。聲音在某物質中的傳播速度可以用以下公式表達：

$v=\sqrt{{\frac{K}{\rho}}}$

公式中的 $K$ 是體積彈性模量， $\rho$ 是物質的密度。在我們的實驗中，物質密度的改變是可忽略的。

這個小現象雖然簡單，但不是又好玩又有趣嗎？這效應也有著不同的版本，您不妨逐一嘗試！譬如您可以嘗試改用其他可溶物質，例如奶粉和蘇打粉，也可以改變水溫或用更高身的容器。另外，試試用汽水或啤酒也不錯。下次在享用您最愛的飲料時，可能也有另一個有趣的物理現象等著您發現。

參考資料：

[1] Crawford FS. The hot chocolate effect. Am J Phys. 1982;50(5):398-404. doi:10.1119/1.13080